A harmadik csoportba gyűjtött művek Escher talán "legcselesebb" képei. Az eddig bemutatott metszetektől főként az különbözteti meg őket, hogy első ránézésre nem találunk semmi szokatlant. Felületes szemlélő számára mind a Belvedere, mind a Lépcsőn fel és le épületei különösnek bár, de valóságosnak tűnhetnek. A korábbi képeknél azonnal szembetűnik az ábrázolt világ lehetetlensége, a következőkben tárgyalásra kerülő művek esetén azonban csak figyelmesebb vizsgálódás fedi fel az ábrázolás paradox vonásait.

Escher tisztában volt egy kép feldolgozásának és értelmezésének agyunkban zajló mechanizmusáról. Pontosan a háromdimenziós tárgy két dimenzióban való ábrázolásakor fellépő információveszteséget kihasználva igyekezett térszemléletünket "kijátszani". Mint látni fogjuk, az ellentmondásos részleteket gyakran próbálta valamilyen módon elrejteni, de úgy gondolom, s talán nem alaptalanul, hogy palástolás nélkül is próbára teszi agyunkat, amikor az kísérletet tesz a látottak értelmezésére, és a sztereografikus információk közit konfliktus feloldására.

Escher egyik legismertebb lehetetlen épülete a Belvedere.

Escher: Belvedere, litográfia, 1958.

Alapmotívumát, a Necker kockát, s annak kétértelműségét már korábbi litográfiákban is felhasználta. A Belvedere tervezésekor még csak egyféle lehetetlen kockát ismert, s ez a Necker kocka volt. Ennek alapötletét továbbfejlesztve alkotta meg saját lehetetlen kockáját, aminek élvázát nem vonalak alkotják, hanem négyzetalapú hasábok, csakúgy, mint a lehetetlen háromszögét.

Az épület tövében ülő fiú ilyen kockát tart a kezében, míg előtte a Necker kockát ábrázoló papírlap hever, melyen a vonalak kereszteződését két körrel jelölte meg Escher, ezzel is felhívva a figyelmet a kocka kifordulásában szerepet játszó pontokra.

Escher: Lehetetlen kocka

A kereszteződő vonalakat gerendaszerű élekkel helyettesítve az élkereszteződések lehetetlenné válnak. Így az egyik távoli sarok egyidejűleg az előtérben is megjelenik.

Ma már számos formáját ismerjük a lehetetlen kockának, közöttük olyat is, melynek élei, Escher kockájával ellentétben nem tartalmaznak lehetetlen metszéseket.

Lehetetlen kocka

De koncentráljunk most csak a Belvedere-re!

A legtöbb lehetetlen kocka ránézésre nem nyújt kellemes látványt. Próbáljuk felfogni, és értelmezni a beérkező információkat, mégsem tudjuk a tárgyat gondolatban rekonstruálni az egymásnak ellentmondó térinformációk miatt. A kép csak akkor tárja elénk a lehetetlen valóságot finom és meggyőző módon, ha kellő érzékkel mossuk össze a valós és valótlan elemeket, elterelve figyelmünket a szembeötlő ellentmondásokról.

Escher mestere volt a lehetetlen, gyakran zavarba ejtően hihető ábrázolásának. Első pillantásra a szemlélőnek fel sem tűnik, hogy a Belvedere és a fiú kezében lévő lehetetlen kocka hasonló koncepció alapján épül fel. Escher ezt azzal érte el, hogy az épület vízszintes síkrészeit - padló, plafon stb. - hosszúnak és keskenynek ábrázolta.

Versluis: Belvedere, vázlat

Ebből adódik, hogy az egy csúcsból kiinduló 3 él által meghatározott Y-szerű alakzatok paradox metszéspontjai igencsak távol kerültek egymástól, szabadon hagyva a központi részt, s így megközelítették a két legszélső oszlopot.

Félig-meddig már ezzel is álcázta a lehetetlen kockát, illetve az épület esetében lehetetlen hasábot. A szerkezet középső részén továbbá, az árulkodó metszéspontokat egy korlát, valamint árkádok rejtik el. Az ábrán látható, hogy ezzel eltűnnek a szemünk elől az ellentmondást hangsúlyozó sarkok.

Escher a hasáb alá és fölé aprólékos részletességgel kidolgozott tömböket helyez, ami a képen a legfelső és a legalsó szint. Az adalék részek hatására az épület egyrészt valósabbnak tűnik, ugyanakkor azonban ki is hangsúlyozzák a szerkezet furcsaságát.

A paradox csúcsok eltűnnek
Alsó- és felső tömb jelenik meg

Hiszen ezek a részek szépen mutatják, hogy a hasáb alja és teteje mennyire összeegyeztethetetlen. Bár a hasáb nincs elcsavarodva, úgy tűnik a két tömb 90°-os szöget zár be egymással. Ezt az elfordult hatást hangsúlyozza a felső szinten álló hölgy, és a középső szint távolba merengő férfialakja is. Noha mindketten ugyanazon két oszlop - felső illetve alsó része - közül tekintenek a környező vidékre, mégis a hölgy 90°-kal elfordulva szemlélődik.

Ahhoz, hogy a hasáb alsó és felső lapját összekössük, négy oszlopra van szükség, s ezek közül csak kettőnek van köze a hasáb lehetetlen voltához. Escher nyolc oszlopot használt, amiből hatot lehetetlen módon ábrázolt. Ezzel a megoldással az elrejtő motívumok hatását ellensúlyozta.

Vizsgáljuk még meg a létrát, ami szintén egy hamis kapcsolat az alsó- és felső szint között. A ház belsejéből indul, de egy emelettel feljebb érve már kívül van az épületen.

A képen szereplő emberek úgy járnak - kelnek a kilátóban, mintha tökéletesen otthon éreznék magukat, s közben észre sem veszik, hogy egy lehetetlen világ részesei. Az ő számukra ugyanis nem az, így nem is figyelnek fel az épület furcsaságára, mint ahogy a bebörtönzött figurára sem.

Találkozhatunk hasonló jelenséggel a valós életben is. Az emberek hajlamosak arra, hogy megszokott életvitelükben már ne fedezzék fel világunk kisebb-nagyobb csodáit, s így sokszor éppen a dolgok lényegi vonása marad rejtve előttük.

S végül, de nem utolsósorban nézzük, hogy hogyan realizálható az épület a háromdimenziós világunkban. Shiego Fukuda a lehetetlen épület kétdimenziós rajza alapján megépítette az épület térbeli modelljét, aminek persze csak egyetlen nézőpontból lesz a képmással azonos látványa.

Shiego Fukuda: Belvedere modell l.

Sandro del Prete: Belvedere modell 2. (vázlat)

Markánsan jelentkeznek a fejezet indító gondolatai a Vízesés című litográfiában. Mint korábban már említettem, a képen látható építmény alapjául szolgáló geometriai alakzat, a lehetetlen háromszög nem Escher találmánya volt. Azonban mielőtt rátérnék a lehetetlen háromszög "történetére" ismerkedjünk meg magával az alakzattal.

Penrose: Lehetetlen háromszög

Feltételezve, hogy tárgyat látunk és nem egy szakaszból álló síkbeli alakzatot, megállapíthatjuk, hogy három egybevágó négyzetalapú hasábból épül fel.

Azt látjuk, hogy az A hasáb merőleges a C-re, és felénk áll, mialatt B is merőleges C-re oly módon, hogy közben tőlünk ellentétes irányba mutat. Azonban A és B egymással 90°-ot bezárva találkoznak, ami háromdimenzióban lehetetlen. Vagy mégsem? Készíthető olyan térbeli modell, ami egyetlen nézőpontból ugyan, de az ábrán látható módon láttatja velünk a háromszöget.

Ehhez adhat ötletet az egységoldalú kocka izometrikus axonometriában való ábrázolása. Az izometrikus axonometria a merőleges axonometria egy specális esete, amikor a vetítés iránya merőleges a képsíkra, valamint a térbeli koordináta-rendszer tengelyeinek rövidülési aránya mindhárom tengely esetén ugyanannyi. Az izometrikus (egyméretű) elnevezés is innen ered, vagyis, hogy a három rövidülés egyenlő. A fentiekből adódik, hogy az x, y, z tengelyek képei 120°-os szöget zárnak be egymással, és a nyomháromszög egy egyenlő oldalú háromszög.

Kocka izometrikus képe

Az ábrán jól látható, hogy ily módon a kocka két csúcsa: D és F egybeesik. Tehát D = F. Ha jobban megnézzük, az FEH pontok által meghatározott alakzat a lehetetlen háromszög tulajdonságaival rendelkezik. (FE) merőleges az (EH) szakaszra, mivel mindkét szakasz a kockának egy csúcsból kiinduló oldaléle. Hasonlóan (EH) merőleges (HD)-re, de D = F, így (EH) merőleges (HF)-re. Persze tudjuk, hogy D és F csak az ábrán esik egybe, s így az eredeti kocka (HD) éle nem kapcsolódik az (ED)-hez D pontban. Azonban megfelelően választott nézőpontból mégis úgy látszik.

A lehetetlen háromszög képét már Escher előtt jóval korábban is megrajzolták tudatosan vagy öntudatlanul. Az első dokumentáltan tudatos ábrázolás Oscar Reutersvärd, svéd ábrázolóművész és művészettörténész nevéhez fűződik.

Reutersvärd: Lehetetlen háromszögek

A lehetetlen háromszögnek számos változata készült el az idők folyamán.

Oscar Reutersvärd munkái azonban nem kerültek be a köztudatba. Így történhetett, hogy Roger Penrose tőle függetlenül szintén elkészítette rövid kísérletezés után a lehetetlen háromszöget.

A lehetetlen tárgyak iránt egyébként 1954-ben kezdett érdeklődni, amikor részt vett egy Amszterdamban megrendezett matematikai konferencián, s ott figyelmébe ajánlottak a konferenciával egyidőben rendezett, Escher munkáit bemutató kiállítást. Noha a sok rendkívüli kép között egy sem volt, ami a mai értelemben vett lehetetlen tárgyat ábrázol, a látvány mégis teljesen lenyűgözte Penrose-t, s figyelmét a paradox tárgyak felé irányította.

1958-ban a British Journal of Psychology közölt cikket Penrose lehetetlen háromszögéről, aki tisztelete jeléül küldött egy különlenyomatot Eschernek.

A holland grafikust azonnal megragadta az alakzat, mivel mindig is élénken foglalkoztatta a kétdimenziós sík és a háromdimenziós tér között húzódó konfliktus. Olyannyira elnyerte a tetszését a lehetetlen háromszög, hogy fel is használta a konstrukciót Vízesés című litográfiájában.

Escher: Vízesés, litográfia, 1961.

Escher három lehetetlen háromszöget kapcsol össze különös módon.

C. H. McGillavry: Vízesés, vázlat

Az ABC, BCD, CDE lehetetlen háromszögek.

Az így nyert konstrukció alkotja a vízimalom csatornájának gerincét, aminek lépcsősen kialakított fala érzékelteti, hogy a csatorna erősen lejt. Ennek ellenére mégis úgy tűnik, hogy a víz felfelé folyik, mivel a baloldal három szintből épül fel, míg a jobboldal kettőből. Ellentmondásos a tornyok elhelyezkedése is. A baloldali torony bár függőleges, mégis a legbelső szintje a háttérben húzódik, azonban tekintetünket lefelé irányítva azt vesszük észre, hogy a talpazata az előtérben helyezkedik el.

Escher számos figyelemelterelő elem alkalmazásával igyekszik valamelyest leplezni az ellentmondásos részleteket, de legalábbis törekszik arra, hogy ne csak a konstrukcióra koncentráljunk.

A malom tövében burjánzó egzotikus növényzetnek éppen az a célja, hogy szokatlan formáival magára vonja a néző figyelmét. A valóságban 2 cm-nél nem nagyobb zuzmófélék óriásinak tűnnek eredeti méretükhöz képest. Létüknek valószerűtlensége egyrészt értelmezhető az ábrázolt paradox világ lehetetlenségének hangsúlyozásaként, de lehet hogy egyszerűen csak figyelemelterelő motívum.

A malomkerék hatékonyan rejti el a legalsó lehetetlen háromszög egyik oldalát. Hasonlóan, maga a vízesés is ugyanezt a funkciót tölti be, amikor eltakarja a legfelső háromszöget alkotó egyik oszlopot.

A két torony tetején található, gondosan kidolgozott poliéder is igencsak vonzza a tekintetet. A baloldali poliéder egy kocka kétszeri elforgatásával származtatható. A másik poliéder három egybevágó oktaéder egyesítésével állítható elő. Az eredeti oktaéderből szintén alkalmas forgatással nyerhető további kettő. Ha figyelmesen megvizsgáljuk, láthatjuk, hogy az oktaéder nem minden éle egyenlő. Alapélének hossza a, az oktaéder magasságával egyenlő, amiből megfelelő összefüggések kihasználásával meghatározható az oldalél hossza:.

Már csak azért sem árt szót ejteni a poliéderekről, mert Escher különös módon vonzódott hozzájuk. Több művében is központi témaként jelennek meg. Szimbolikus jelentést azonban felesleges az ábrázolt poliédereknek tulajdonítani. Maga Escher a következőképpen nyilatkozott:

"A két torony tetején található két poliédernek semmiféle szimbolikus jelentése nincs. Azért tettem oda őket, mert tetszettek."

S végül, de nem utolsósorban érdemes a képen szereplő embereknek is szentelni egy kis figyelmet. Egyikük merengő csodálattal tekint a nem mindennapi épületre, míg a hétköznapi munkát végző nő tudomást sem vesz róla. Escher lehetetlen tárgyakat ábrázoló képeire is kétféleképpen reagálhat a szemlélő. Vagy fel sem tűnik az ellentmondás, s akkor nem nyűgözi le a látvány; vagy teljesen a hatása alá kerül, s megpróbálja a mi világunkba átültetni az épületet, azaz háromdimenziós modellt készít róla. Shiego Fukuda erre tett kísérletet.

Fukuda modellje egy árulkodó nézőpontból

2. modell (vázlat)

Ha a csatornát vízszintesen építjük meg, a tornyokat kell úgymond feldarabolnunk, majd a csatorna síkjával alkalmas szöget bezáró síkokkal a torony alsó szintjeinek tartóoszlopait lemetszenünk. Persze a csatornából kiömlő víz így nem tud aláhullni. De ennyi hiányosságot elnézhetünk egy modellnek.

Ugyancsak nem minta nélkül készült el a Lépcsőn fel és le című litográfia. A kép fő motívumát a már említett végtelen lépcsőt Lionel Penrose, angol fizikus és kozmológus készítette el, miután fia, Roger Penrose munkája, a lehetetlen háromszög felkeltette az érdeklődését a paradox alakzatok iránt. Mindkét felfedezett tárgy a British Journal of Psychology 1958-as februári számában jelent meg.

Ezekből születtek Escher fantáziájának gyümölcseként a már bemutatott Vízesés, és a most tárgyalásra kerülő Lépcsőn fel és le.

A képen egy négyszög alapú belső udvart körülölelő épület látható, tetején egy végtelen lépcsővel.

A kép néhány eleme a szerkezet különlegességét hangsúlyozza. Ilyen többek között az épület tetején körbefutó lépcső, ami a házzal együtt meg van döntve, s így azt a néző egy bizonyos szemszögből látja. Ennek köszönhetően nehéz észrevenni, hogy miért nem jutnak függőleges irányban feljebb a felfelé menetelő szerzetesek, illetve miért nem kerülnek mélyebbre azok, akik lefelé haladnak a lépcsőn.

Escher: Lépcsőn fel és le, litográfia 1960.

Egy esetleges magyarázat lehet az, hogy a lépcsőfokok nem párhuzamosak a talaj síkjával. Így bár úgy tűnik, lefelé lépegetünk rajta, ez a "lefelé" igencsak relatív, hiszen egy vízszintes konstrukción haladunk.

Lépcső vázlat

Az egész épületet már csak kellő szögben meg kell dönteni, hogy a lépcsőfokok függőleges élei valóban annak tűnjenek. Az épület trapézszerű alakja tovább segíti az észrevétlen manipulációt.

Amíg a Vízesés című litográfiában Escher különféle elemekkel próbálta elterelni a néző figyelmét a központi problémáról, addig most épp ellenkezőleg, a szemlélő figyelmét pontosan a lépcsőre, azaz a lehetetlen szerkezetre irányítja. Teheti, hiszen még a két ellentétes irányba vonuló szerzetesek is csak fokozzák a lépcső lehetetlenségének látszatát, ahelyett, hogy a megoldásra vezetnének rá.

Az ismeretlen szekta keltette titokzatos légkör az épület egészét áthatja. Csak ketten vannak, akik még nem kerültek a misztikum hatása alá, de valószínűleg ők is előbb-utóbb beállnak a menetelők közé. Csakúgy, mint a Möbius-szalag, a végtelen lépcső is bizonyos értelemben az ember labirintus-börtöneként jelenik meg, ahonnan nincs kiút. Egyszerre végtelen és zárt, folytonos mozgásban tartva a benne élőket. Választásuk nincs, vagy csak látszólag, hiszen az épület elszigeteltsége, a táj hiánya mind a szabadulás reménytelenségét sugallják.